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Algum tempo atrás, em um comentário, fiz referência ao Lema de Borel-Cantelli, um teorema dos mais interessantes e de grande importância para a Teoria das Probabilidades e suas ramificações. Pretendo aqui explorar este assunto sob o ponto de vista de sua importância para os tipos de questões que aparecem em grande parte das mensagens de blog, fóruns,comentários, etc...propostos e debatidos pelos membros deste sítio eletrônico.Evidentemente está fora de propósito aqui qualquer exposição dos detalhes técnicos e de sua demonstração, sendo que me restringirei a enunciar uma versão mais fraca ( Corolário ) através de um exemplo de um caso particular que é aquele que nos interessa.Dito isto, imaginemos um editor de texto digitando aleatòriamente no teclado de um computador durante um tempo infinito, contado a partir de um instante inicial, que chamarei de ¨Digitador Aleatório de Tempo Infinito ¨ e que abreviarei para DATI . A seguir visualizamos o Espaço de Probabilidades constituido de todas as possíveis sequências infinitas desses caracteres e, de uma maneira natural, postulamos equi-probabilidades para todas as teclas, ou seja, cada tecla tem a mesma probabilidade de ser digitada.Enunciado: Para QUALQUER sequência FINITA, S*, de caracteres, com uma probabilidade de ocorrência fixada e não nula a seguinte proposição é válida :

PROB[ S* ocorre infinitas vezes na sequencia infinita ] = 1 ( !! )

Considerem a primeira edição do A Origem das Espécies. O que vai acontecer ? O Lema de Borel-Cantelli afirma o seguinte : DATI irá digitá-la sem nenhum erro um número infinito de vezes com probabilidade igual a 1 ( UM ). Obras completas de Darwin, Shakespeare, A Grande HIstória da Evolução ( Dawkins ), etc..., qualquer texto com um número finito de signos, todos sem nenhum erro um número infinito de vezes com probabilidade 1. ( !! ). Digitará também ( para perplexidade de muitos ) instruções para a ¨manufatura¨ de qualquer criatura viva ( seja o que for o que isso signifique ), imaginada ou não, um número infinito de vezes. Digitará também ( para perplexidade de alguns ) qualquer texto criacionista um número infinito de vezes com probabilidade 1, sendo que neste dois últimos casos, como na biblioteca de Babel, de Borges, a maioria deles impregnados de imperfeições e de tempo de vida muito curtos. Há uma diferença. No texto de Borges temos um acervo de informações muito grande ou infinito imerso em um espaço muito grande ou infinito. No nosso caso uma sequência linear infinita de signos que deve ser lida durante um tempo infinito ao longo do eixo uni-dimensional do tempo. É interessante observar também que o próprio Lema de Borel-Cantelli estaria anunciado no texto de DATI em toda a sua generalidade e precisão um número infinito etc...etc....

Bem, pensemos agora em uma hipótese das mais sugestivas e inspiradoras, a saber, uma possível correspondência entre este fato matemático e os fatos do mundo real. Após a revolução da Teoria Quântica, sabemos agora ( e de uma maneira definitiva, na minha opinião ) que o determinismo clássico estará para sempre bem longe das teorias fundamentasi da física que já nos colocaram desde então não como meros observadores privilegiados de uma realidade objetiva e independente mas, antes, como participantes de um cenário coadjuvado por fenômenos que oscilam entre a sorte e o azar patrocinados pela natureza estocástica do jogo das interações entre partículas e campos quânticos associados. Um Universo probabilístico assim constituído, quando associado à mensagem do Lema de Borel-Cantelli, é possivelmente a resposta para a questão da emergência da vida na Terra e outros lugares, bem como classes de eventos que, por definição, ninguem ainda imaginou. Diante desse quadro otimista, torna-se perfeitamente possível, e até mesmo inevitável, o surgimento no mundo de ilhas de baixa entropia imersas em um caos aparente relativamente àquilo que convencionamos definir como sistemas ordenados ou não, já devidamente subtraída a natureza contingente de suas características próprias sem que entretanto descartemos qualquer contingência possível como um vir-a-ser enquanto potência. Soma-se ainda à estas pressuposições de máxima parcimônia os fenômenos aleatórios de natureza recorrente, dotados de memória, que introduzem acréscimos significativos nas probabilidades de eventos futuros.É claro que não chegarei ao ponto de afirmar que o texto de DATI contém tudo pois, no meu modo de ver, tudo é um lugar que não existe. ( Marcelo Gleiser marcou um ponto comigo no seu ¨Criação Imperfeita ¨ ( ed. Record ) ao afirmar que o sonho dos físicos, a ¨Teoria de Tudo¨ é uma espécie de ilusão infantil ). Esclareço aqui que estas últimas considerações não estão em contradição com o que escrevi desde o início, pois o Espaço de Probabilidades acima imaginado contêm também sequências de signos do tipo wwwwwwww... que pertencem a sub-conjuntos de medida nula nesse espaço, ou seja, uma classe de eventos possíveis de probabilidade zero !

Gostaria de terminar minha breve mensagem com uma observação : A diversidade não é monopólio do mundo vivo.As instruções codificadas no texto de DATI parecem encontrar neste nosso universo um lugar adequado para muitas de suas realizações na arena dos fenômenos que envolvem uma grande quantidade de matéria e energia, tais como na Astronomia, Astrofísica e Comologia. Estamos apenas começando e espero que continuemos assim, para bem longe no tempo, tão longe quanto o código de DATI permitir.

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Comentário de LUIZ SERGIO DADARIO em 7 julho 2010 às 14:19
Na realidade meu post refere-se ao Segundo Lema. Para quem se interessar em dar uma olhada nas definições e demonstrações eu recomendo a edição em inglês da Wikipédia ( primeiro resultado do Google para Borel-Cantelli ) pois, por incrível que pareça, a edição em português, além de parcial,contém erros de tradução (literal) que podem induzir à erros conceituais e ambiguidades.Por exemplo, a tradução correta para a frase...¨probability that infinitely many of them occur...¨ é : a probabilidade de ocorrer um número infinito deles...etc...Outro exemplo :
Ed. inglesa : LimSupE(n) is the set of outcomes that occur infinitely many times within the infinite sequence of events E(n).
Tradução correta : LimSupE(n) é o conjunto dos pontos do espaço amostral que ocorrem infinitas vezes na sequência de eventos E(n). [ i.é. o conjunto dos pontos do espaço amostral que pertencem à E(n) para um número infinito de n´s ]
É absolutamente irritante ler frases do tipo...¨infinitamente muitas...¨ etc...etc... Bem, queixas à parte, teço ainda algumas observações. Há tempos ando às voltas com essas questões e percebi que elas contém algo mais do que estamos supondo. Paul Dirac, que formulou sua famosa versão relativística das equações da Mecânica Quântica costumava dizer algo do tipo ...¨Se alguma coisa é lógica então ela tem de encontrar uma maneira de existir ¨. Bem, é difícil interpretar o que precisamente estava em sua mente mas podemos identificar imediatamente a inversão da flexa da causalidade, e o segundo Lema de Borel-Cantelli se presta muito bem a essa classe de divagações filosóficas, já que, por Digitação Aleatória de Tempo Infinito, quase toda idéia é concebível.

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